Theorem arch 8974

Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
arch	|- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Distinct variable group:   A, n

Proof of Theorem arch

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-arch 7739	. . 3 |- ( A e. RR -> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
2		dfnn2 8722	. . . 4 |- NN = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
3	2	rexeqi 2631	. . 3 |- ( E. n e. NN A <RR n <-> E. n e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A <RR n )
4	1, 3	sylibr 133	. 2 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A <RR n )
5		nnre 8727	. . . 4 |- ( n e. NN -> n e. RR )
6		ltxrlt 7830	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ n e. RR ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
7	5, 6	sylan2 284	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ n e. NN ) -> ( A < n <-> A <RR n ) )
8	7	rexbidva 2434	. 2 |- ( A e. RR -> ( E. n e. NN A < n <-> E. n e. NN A <RR n ) )
9	4, 8	mpbird 166	1 |- ( A e. RR -> E. n e. NN A < n )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   |^|cint 3771   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   1c1 7621   + caddc 7623   <RR cltrr 7624   < clt 7800   NNcn 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-inn 8721

This theorem is referenced by:  nnrecl  8975  bndndx  8976  btwnz  9170  expnbnd  10415  cvg1nlemres  10757  cvg1n  10758  resqrexlemga  10795  fsum3cvg3  11165  divcnv  11266  efcllem  11365  alzdvds  11552  dvdsbnd  11645