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Theorem elfz0fzfz0 9214
Description: A member of a finite set of sequential nonnegative integers is a member of a finite set of sequential nonnegative integers with a member of a finite set of sequential nonnegative integers starting at the upper bound of the first interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfz0fzfz0  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfz0fzfz0
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9205 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
2 elfz2 9112 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
3 nn0re 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
4 nn0re 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
5 zre 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
63, 4, 53anim123i 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
763expa 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
8 letr 7261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N
) )
97, 8syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  M  <_  N ) )
10 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
11 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1211adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
13 elnn0z 8445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
14 0red 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
15 zre 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
175adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
18 letr 7261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  M  /\  M  <_  N
)  ->  0  <_  N ) )
2019exp4b 359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  M  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2120com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  <_  M  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) ) )
2221imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2313, 22sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N ) ) )
2423adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N )
) )
2524imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  0  <_  N
) )
2625imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  0  <_  N )
27 elnn0z 8445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
2812, 26, 27sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  NN0 )
29 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  M  <_  N )
3010, 28, 293jca 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
3130ex 113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 
/\  M  <_  N
) ) )
329, 31syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  L  /\  L  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
3332exp4b 359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( M  <_  L  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
3433com23 77 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  L  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) ) )
35343impia 1136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  <_  N  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3635com13 79 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3736adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
3837com12 30 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
39383ad2ant3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) ) ) )
4039imp 122 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
412, 40sylbi 119 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4241com12 30 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
431, 42sylbi 119 . . 3  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
4443imp 122 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )
45 elfz2nn0 9205 . 2  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
4644, 45sylibr 132 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043    <_ cle 7216   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   ...cfz 9105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106
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