Theorem enssdom 6656

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6638	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 5366	. . . . 5 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3	2	eximi 1579	. . . 4 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4		opabid 4179	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5		opabid 4179	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6	3, 4, 5	3imtr4i 200	. . 3 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7		df-en 6635	. . . 4 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8	7	eleq2i 2206	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9		df-dom 6636	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10	9	eleq2i 2206	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11	6, 8, 10	3imtr4i 200	. 2 |- ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4630	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   {copab 3988   -1-1->wf1 5120   -1-1-onto->wf1o 5122   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-f1o 5130  df-en 6635  df-dom 6636

This theorem is referenced by:  endom  6657