ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enssdom Unicode version

Theorem enssdom 6301
Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
enssdom  |-  ~~  C_  ~<_

Proof of Theorem enssdom
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6284 . 2  |-  Rel  ~~
2 f1of1 5150 . . . . 5  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  f : x -1-1-> y )
32eximi 1532 . . . 4  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  E. f  f : x -1-1-> y )
4 opabid 4014 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  <->  E. f  f :
x
-1-1-onto-> y )
5 opabid 4014 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y }  <->  E. f  f : x -1-1-> y )
63, 4, 53imtr4i 199 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  ->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x
-1-1-> y } )
7 df-en 6281 . . . 4  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
87eleq2i 2146 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-onto-> y } )
9 df-dom 6282 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
109eleq2i 2146 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e. 
~<_ 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y } )
116, 8, 103imtr4i 199 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  ->  <. x ,  y >.  e.  ~<_  )
121, 11relssi 4451 1  |-  ~~  C_  ~<_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1422    e. wcel 1434    C_ wss 2974   <.cop 3403   {copab 3840   -1-1->wf1 4923   -1-1-onto->wf1o 4925    ~~ cen 6278    ~<_ cdom 6279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-opab 3842  df-xp 4371  df-rel 4372  df-f1o 4933  df-en 6281  df-dom 6282
This theorem is referenced by:  endom  6302
  Copyright terms: Public domain W3C validator