Theorem isfi 6655

Description: Express " A is finite." Definition 10.29 of [TakeutiZaring] p. 91 (whose " Fin " is a predicate instead of a class). (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
isfi	|- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem isfi

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin 6637	. . 3 |- Fin = { y | E. x e. om y ~~ x }
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. Fin <-> A e. { y | E. x e. om y ~~ x } )
3		relen 6638	. . . . 5 |- Rel ~~
4	3	brrelex1i 4582	. . . 4 |- ( A ~~ x -> A e. _V )
5	4	rexlimivw 2545	. . 3 |- ( E. x e. om A ~~ x -> A e. _V )
6		breq1 3932	. . . 4 |- ( y = A -> ( y ~~ x <-> A ~~ x ) )
7	6	rexbidv 2438	. . 3 |- ( y = A -> ( E. x e. om y ~~ x <-> E. x e. om A ~~ x ) )
8	5, 7	elab3 2836	. 2 |- ( A e. { y | E. x e. om y ~~ x } <-> E. x e. om A ~~ x )
9	2, 8	bitri 183	1 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   class class class wbr 3929   omcom 4504   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  snfig  6708  fict  6762  fidceq  6763  nnfi  6766  enfi  6767  ssfilem  6769  dif1enen  6774  php5fin  6776  fisbth  6777  fin0  6779  fin0or  6780  diffitest  6781  findcard  6782  findcard2  6783  findcard2s  6784  diffisn  6787  infnfi  6789  fientri3  6803  unsnfi  6807  unsnfidcex  6808  unsnfidcel  6809  fiintim  6817  fidcenumlemim  6840  finnum  7039  hashcl  10527  hashen  10530  fihashdom  10549  hashun  10551  zfz1iso  10584