ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng Unicode version

Theorem f1imaeng 6361
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  ( F " C
)  ~~  C )

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5193 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A )  ->  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C ) )
2 f1oeng 6326 . . . 4  |-  ( ( C  e.  V  /\  ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C
) )  ->  C  ~~  ( F " C
) )
32ancoms 264 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  C ) : C -1-1-onto-> ( F " C
)  /\  C  e.  V )  ->  C  ~~  ( F " C
) )
41, 3stoic3 1361 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  C  ~~  ( F
" C ) )
54ensymd 6352 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  C  C_  A  /\  C  e.  V )  ->  ( F " C
)  ~~  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 920    e. wcel 1434    C_ wss 2982   class class class wbr 3805    |` cres 4393   "cima 4394   -1-1->wf1 4949   -1-1-onto->wf1o 4951    ~~ cen 6307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-er 6194  df-en 6310
This theorem is referenced by:  f1imaen  6363  isinfinf  6454  f1finf1o  6487  phimullem  10826
  Copyright terms: Public domain W3C validator