ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1imaeng GIF version

Theorem f1imaeng 6302
Description: A one-to-one function's image under a subset of its domain is equinumerous to the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1imaeng ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)

Proof of Theorem f1imaeng
StepHypRef Expression
1 f1ores 5168 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶))
2 f1oeng 6267 . . . 4 ((𝐶𝑉 ∧ (𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶)) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
32ancoms 259 . . 3 (((𝐹𝐶):𝐶1-1-onto→(𝐹𝐶) ∧ 𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
41, 3stoic3 1336 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ≈ (𝐹𝐶))
54ensymd 6293 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐶𝐴𝐶𝑉) → (𝐹𝐶) ≈ 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 896  wcel 1409  wss 2944   class class class wbr 3791  cres 4374  cima 4375  1-1wf1 4926  1-1-ontowf1o 4928  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-er 6136  df-en 6252
This theorem is referenced by:  f1imaen  6304
  Copyright terms: Public domain W3C validator