Theorem fidcenumlemim 6840

Description: Lemma for fidcenum 6844. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	|- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6763	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1182	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2514	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		isfi 6655	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
5		ensym 6675	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> n ~~ A )
6		bren 6641	. . . . . 6 |- ( n ~~ A <-> E. f f : n -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5374	. . . . . . 7 |- ( f : n -1-1-onto-> A -> f : n -onto-> A )
8	7	eximi 1579	. . . . . 6 |- ( E. f f : n -1-1-onto-> A -> E. f f : n -onto-> A )
9	6, 8	sylbi 120	. . . . 5 |- ( n ~~ A -> E. f f : n -onto-> A )
10	5, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ n -> E. f f : n -onto-> A )
11	10	reximi 2529	. . 3 |- ( E. n e. om A ~~ n -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
12	4, 11	sylbi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
13	3, 12	jca 304	1 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 819   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   omcom 4504   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  fidcenum  6844