Theorem fiuni 6866

Description: The union of the finite intersections of a set is simply the union of the set itself. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fiuni	|- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Proof of Theorem fiuni

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 6862	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2	1	unissd 3760	. 2 |- ( A e. V -> U. A C_ U. ( fi ` A ) )
3		eluni 3739	. . . . 5 |- ( x e. U. ( fi ` A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
4	3	biimpi 119	. . . 4 |- ( x e. U. ( fi ` A ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> E. y ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) )
6		simprr 521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> y e. ( fi ` A ) )
7		elfi2 6860	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
8	7	ad2antrr 479	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> ( y e. ( fi ` A ) <-> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z ) )
9	6, 8	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> E. z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) y = |^| z )
10		simprr 521	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y = |^| z )
11		eldifi 3198	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ( ~P A i^i Fin ) )
12	11	elin1d 3265	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. ~P A )
13	12	elpwid 3521	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z C_ A )
14	13	ad2antrl 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> z C_ A )
15		eldifsni 3652	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z =/= (/) )
16	11	elin2d 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> z e. Fin )
17		fin0 6779	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. Fin -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> ( z =/= (/) <-> E. w w e. z ) )
19	15, 18	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) -> E. w w e. z )
20	19	ad2antrl 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> E. w w e. z )
21		intssuni2m 3795	. . . . . . 7 |- ( ( z C_ A /\ E. w w e. z ) -> |^| z C_ U. A )
22	14, 20, 21	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> |^| z C_ U. A )
23	10, 22	eqsstrd 3133	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> y C_ U. A )
24		simplrl 524	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. y )
25	23, 24	sseldd 3098	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) /\ ( z e. ( ( ~P A i^i Fin ) \ { (/) } ) /\ y = |^| z ) ) -> x e. U. A )
26	9, 25	rexlimddv 2554	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) /\ ( x e. y /\ y e. ( fi ` A ) ) ) -> x e. U. A )
27	5, 26	exlimddv 1870	. 2 |- ( ( A e. V /\ x e. U. ( fi ` A ) ) -> x e. U. A )
28	2, 27	eqelssd 3116	1 |- ( A e. V -> U. A = U. ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   =/= wne 2308   E.wrex 2417   \ cdif 3068   i^i cin 3070   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ~Pcpw 3510   {csn 3527   U.cuni 3736   |^|cint 3771   ` cfv 5123   Fincfn 6634   ficfi 6856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-fi 6857

This theorem is referenced by:  fipwssg  6867