ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrevral3 Unicode version

Theorem fzrevral3 9200
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 20-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( M ... N )
[. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, M   
j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzrevral3
StepHypRef Expression
1 zaddcl 8472 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  N
)  e.  ZZ )
2 fzrevral 9198 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( ( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mpd3an3 1270 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N
) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k
)  /  j ]. ph ) )
4 zcn 8437 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
5 zcn 8437 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
6 pncan 7381 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  N
)  =  M )
7 pncan2 7382 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
86, 7oveq12d 5561 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) )  =  ( M ... N ) )
94, 5, 8syl2an 283 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) )  =  ( M ... N ) )
109raleqdv 2556 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) [. ( ( M  +  N )  -  k )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( M ... N
) [. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
113, 10bitrd 186 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. k  e.  ( M ... N )
[. ( ( M  +  N )  -  k )  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   [.wsbc 2816  (class class class)co 5543   CCcc 7041    + caddc 7046    - cmin 7346   ZZcz 8432   ...cfz 9105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-fz 9106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator