ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r Unicode version

Theorem icc0r 9025
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  ( A [,] B )  =  (/) ) )

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 8954 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
213com23 1145 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B
) )
323expa 1139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A  <_  x  /\  x  <_  B
)  ->  A  <_  B ) )
43rexlimdva 2478 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  A  <_  B ) )
5 xrlenlt 7244 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
64, 5sylibd 147 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  ->  -.  B  <  A ) )
76con2d 587 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
8 iccval 9019 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A [,] B )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) } )
98eqeq1d 2090 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/) ) )
10 rabeq0 3281 . . . 4  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  RR*  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) )
11 ralnex 2359 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR*  -.  ( A  <_  x  /\  x  <_  B )  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
1210, 11bitri 182 . . 3  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <_  x  /\  x  <_  B ) }  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
139, 12syl6bb 194 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  RR*  ( A  <_  x  /\  x  <_  B
) ) )
147, 13sylibrd 167 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  ( A [,] B )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   {crab 2353   (/)c0 3258   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RR*cxr 7214    < clt 7215    <_ cle 7216   [,]cicc 8990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-icc 8994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator