ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icc0r GIF version

Theorem icc0r 8896
Description: An empty closed interval of extended reals. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
icc0r ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))

Proof of Theorem icc0r
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrletr 8825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
213com23 1121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
323expa 1115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
43rexlimdva 2450 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → 𝐴𝐵))
5 xrlenlt 7143 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
64, 5sylibd 142 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐴))
76con2d 564 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
8 iccval 8890 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴[,]𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)})
98eqeq1d 2064 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ {𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅))
10 rabeq0 3275 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵))
11 ralnex 2333 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ* ¬ (𝐴𝑥𝑥𝐵) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
1210, 11bitri 177 . . 3 ({𝑥 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑥𝑥𝐵)} = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵))
139, 12syl6bb 189 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,]𝐵) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴𝑥𝑥𝐵)))
147, 13sylibrd 162 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐴 → (𝐴[,]𝐵) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {crab 2327  c0 3252   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  *cxr 7118   < clt 7119  cle 7120  [,]cicc 8861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-icc 8865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator