ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlenlt Unicode version

Theorem xrlenlt 7233
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than', for extended reals. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlenlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )

Proof of Theorem xrlenlt
StepHypRef Expression
1 df-br 3788 . . 3  |-  ( A  <_  B  <->  <. A ,  B >.  e.  <_  )
2 opelxpi 4396 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( RR*  X. 
RR* ) )
3 df-le 7210 . . . . . . 7  |-  <_  =  ( ( RR*  X.  RR* )  \  `'  <  )
43eleq2i 2146 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
<_ 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( ( RR*  X.  RR* )  \  `'  <  )
)
5 eldif 2983 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( ( RR*  X.  RR* )  \  `'  <  )  <->  (
<. A ,  B >.  e.  ( RR*  X.  RR* )  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  )
)
64, 5bitri 182 . . . . 5  |-  ( <. A ,  B >.  e. 
<_ 
<->  ( <. A ,  B >.  e.  ( RR*  X.  RR* )  /\  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  ) )
76baib 862 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  <_  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  ) )
82, 7syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( <. A ,  B >.  e. 
<_ 
<->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  )
)
91, 8syl5bb 190 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  ) )
10 opelcnvg 4537 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  `'  <  <->  <. B ,  A >.  e.  <  ) )
11 df-br 3788 . . . 4  |-  ( B  <  A  <->  <. B ,  A >.  e.  <  )
1210, 11syl6rbbr 197 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  <->  <. A ,  B >.  e.  `'  <  ) )
1312notbid 625 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  A  <->  -.  <. A ,  B >.  e.  `'  <  ) )
149, 13bitr4d 189 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434    \ cdif 2971   <.cop 3403   class class class wbr 3787    X. cxp 4363   `'ccnv 4364   RR*cxr 7203    < clt 7204    <_ cle 7205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-br 3788  df-opab 3842  df-xp 4371  df-cnv 4373  df-le 7210
This theorem is referenced by:  lenlt  7243  pnfge  8929  mnfle  8932  xrltle  8938  xrleid  8939  xrletri3  8940  xrlelttr  8941  xrltletr  8942  xrletr  8943  xleneg  8969  iccid  9013  icc0r  9014  icodisj  9079  ioodisj  9080  ioo0  9335  ico0  9337  ioc0  9338
  Copyright terms: Public domain W3C validator