Theorem infnfi 6789

Description: An infinite set is not finite. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infnfi	|- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Proof of Theorem infnfi

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6655	. . . . 5 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
2	1	biimpi 119	. . . 4 |- ( A e. Fin -> E. n e. om A ~~ n )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> E. n e. om A ~~ n )
4		omex 4507	. . . . . 6 |- om e. _V
5		ordom 4520	. . . . . . 7 |- Ord om
6		peano2 4509	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> suc n e. om )
7	6	ad2antrl 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n e. om )
8		ordelss 4301	. . . . . . 7 |- ( ( Ord om /\ suc n e. om ) -> suc n C_ om )
9	5, 7, 8	sylancr 410	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n C_ om )
10		ssdomg 6672	. . . . . 6 |- ( om e. _V -> ( suc n C_ om -> suc n ~<_ om ) )
11	4, 9, 10	mpsyl 65	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ om )
12		domentr 6685	. . . . . 6 |- ( ( om ~<_ A /\ A ~~ n ) -> om ~<_ n )
13	12	ad2ant2rl 502	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> om ~<_ n )
14		domtr 6679	. . . . 5 |- ( ( suc n ~<_ om /\ om ~<_ n ) -> suc n ~<_ n )
15	11, 13, 14	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> suc n ~<_ n )
16		php5dom 6757	. . . . 5 |- ( n e. om -> -. suc n ~<_ n )
17	16	ad2antrl 481	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. suc n ~<_ n )
18	15, 17	pm2.21dd 609	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) /\ ( n e. om /\ A ~~ n ) ) -> -. A e. Fin )
19	3, 18	rexlimddv 2554	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ A e. Fin ) -> -. A e. Fin )
20	19	pm2.01da 625	1 |- ( om ~<_ A -> -. A e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  ominf  6790  hashennnuni  10525