Theorem ordom 4355

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4354	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1380	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 3885	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 144	. 2 |- Tr om
5		treq 3889	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 3889	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 3889	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 3894	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4184	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4349	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2417	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4130	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 884	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   A.wal 1283   e. wcel 1434   A.wral 2349   (/)c0 3258   Tr wtr 3883   Ord word 4125   suc csuc 4128   omcom 4339

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-tr 3884  df-iord 4129  df-suc 4134  df-iom 4340

This theorem is referenced by:  omelon2  4356  limom  4362  freccllem  6051  frecfcllem  6053  frecsuclem  6055  fict  6403  infnfi  6429  sizeinfuni  9801  sizeinf  9802  sizeennn  9804