ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Unicode version

Theorem ordom 4355
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom  |-  Ord  om

Proof of Theorem ordom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4354 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
21gen2 1380 . . 3  |-  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  om )  ->  x  e.  om )
3 dftr2 3885 . . 3  |-  ( Tr 
om 
<-> 
A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e. 
om )  ->  x  e.  om ) )
42, 3mpbir 144 . 2  |-  Tr  om
5 treq 3889 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Tr  y  <->  Tr  (/) ) )
6 treq 3889 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Tr  y  <->  Tr  x )
)
7 treq 3889 . . . 4  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( Tr  y  <->  Tr  suc  x
) )
8 tr0 3894 . . . 4  |-  Tr  (/)
9 suctr 4184 . . . . 5  |-  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x
)
109a1i 9 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ( Tr  x  ->  Tr  suc  x ) )
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4349 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  Tr  x )
1211rgen 2417 . 2  |-  A. x  e.  om  Tr  x
13 dford3 4130 . 2  |-  ( Ord 
om 
<->  ( Tr  om  /\  A. x  e.  om  Tr  x ) )
144, 12, 13mpbir2an 884 1  |-  Ord  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1283    e. wcel 1434   A.wral 2349   (/)c0 3258   Tr wtr 3883   Ord word 4125   suc csuc 4128   omcom 4339
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-int 3645  df-tr 3884  df-iord 4129  df-suc 4134  df-iom 4340
This theorem is referenced by:  omelon2  4356  limom  4362  freccllem  6051  frecfcllem  6053  frecsuclem  6055  fict  6403  infnfi  6429  sizeinfuni  9801  sizeinf  9802  sizeennn  9804
  Copyright terms: Public domain W3C validator