Theorem ordom 4520

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn 4519	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
2	1	gen2 1426	. . 3 |- A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om )
3		dftr2 4028	. . 3 |- ( Tr om <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. om ) -> x e. om ) )
4	2, 3	mpbir 145	. 2 |- Tr om
5		treq 4032	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( Tr y <-> Tr (/) ) )
6		treq 4032	. . . 4 |- ( y = x -> ( Tr y <-> Tr x ) )
7		treq 4032	. . . 4 |- ( y = suc x -> ( Tr y <-> Tr suc x ) )
8		tr0 4037	. . . 4 |- Tr (/)
9		suctr 4343	. . . . 5 |- ( Tr x -> Tr suc x )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( x e. om -> ( Tr x -> Tr suc x ) )
11	5, 6, 7, 6, 8, 10	finds 4514	. . 3 |- ( x e. om -> Tr x )
12	11	rgen 2485	. 2 |- A. x e. om Tr x
13		dford3 4289	. 2 |- ( Ord om <-> ( Tr om /\ A. x e. om Tr x ) )
14	4, 12, 13	mpbir2an 926	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1329   e. wcel 1480   A.wral 2416   (/)c0 3363   Tr wtr 4026   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  omelon2  4521  limom  4527  freccllem  6299  frecfcllem  6301  frecsuclem  6303  fict  6762  infnfi  6789  isinfinf  6791  hashinfuni  10523  hashinfom  10524  hashennn  10526  ennnfonelemrn  11932  ctinf  11943