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Theorem isosolem 5514
Description: Lemma for isoso 5515. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isosolem  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )

Proof of Theorem isosolem
Dummy variables  a  b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isopolem 5512 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Po  B  ->  R  Po  A
) )
2 df-3an 922 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  <->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )
3 isof1o 5498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  H : A -1-1-onto-> B
)
4 f1of 5177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  H : A
--> B )
5 ffvelrn 5352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  a  e.  A )  ->  ( H `  a
)  e.  B )
65ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( a  e.  A  ->  ( H `  a
)  e.  B ) )
7 ffvelrn 5352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  b  e.  A )  ->  ( H `  b
)  e.  B )
87ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( b  e.  A  ->  ( H `  b
)  e.  B ) )
9 ffvelrn 5352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H : A --> B  /\  c  e.  A )  ->  ( H `  c
)  e.  B )
109ex 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H : A --> B  -> 
( c  e.  A  ->  ( H `  c
)  e.  B ) )
116, 8, 103anim123d 1251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : A --> B  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
123, 4, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )  ->  (
( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) ) )
1312imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( ( H `  a )  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B ) )
14 breq1 3808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S y  <->  ( H `  a ) S y ) )
15 breq1 3808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
x S z  <->  ( H `  a ) S z ) )
1615orbi1d 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) ) )
1714, 16imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( H `  a )  ->  (
( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S y  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S y ) ) ) )
18 breq2 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S y  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
19 breq2 3809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
z S y  <->  z S
( H `  b
) ) )
2019orbi2d 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S y )  <->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) ) )
2118, 20imbi12d 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( H `  b )  ->  (
( ( H `  a ) S y  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S y ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S z  \/  z S ( H `
 b ) ) ) ) )
22 breq2 3809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( H `  a
) S z  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
23 breq1 3808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
z S ( H `
 b )  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
2422, 23orbi12d 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S z  \/  z S ( H `  b ) )  <->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) )
2524imbi2d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  c )  ->  (
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S z  \/  z S ( H `  b
) ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
2617, 21, 25rspc3v 2724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( H `  a
)  e.  B  /\  ( H `  b )  e.  B  /\  ( H `  c )  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  ( ( H `
 a ) S ( H `  c
)  \/  ( H `
 c ) S ( H `  b
) ) ) ) )
2713, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 b )  -> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) ) )
28 isorel 5499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
29283adantr3 1100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R b  <->  ( H `  a ) S ( H `  b ) ) )
30 isorel 5499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
31303adantr2 1099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( a R c  <->  ( H `  a ) S ( H `  c ) ) )
32 isorel 5499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
c  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3332ancom2s 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
34333adantr1 1098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( c R b  <->  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) )
3531, 34orbi12d 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R c  \/  c R b )  <-> 
( ( H `  a ) S ( H `  c )  \/  ( H `  c ) S ( H `  b ) ) ) )
3629, 35imbi12d 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) )  <->  ( ( H `  a ) S ( H `  b )  ->  (
( H `  a
) S ( H `
 c )  \/  ( H `  c
) S ( H `
 b ) ) ) ) )
3727, 36sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A  /\  c  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  (
a R b  -> 
( a R c  \/  c R b ) ) ) )
382, 37sylan2br 282 . . . . . 6  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  /\  c  e.  A ) )  -> 
( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  ->  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
3938anassrs 392 . . . . 5  |-  ( ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  /\  c  e.  A )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  ( x S z  \/  z S y ) )  -> 
( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) )
4039ralrimdva 2446 . . . 4  |-  ( ( H  Isom  R ,  S  ( A ,  B )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) )  ->  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4140ralrimdvva 2451 . . 3  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) )  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
421, 41anim12d 328 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
x S y  -> 
( x S z  \/  z S y ) ) )  -> 
( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  ( a R c  \/  c R b ) ) ) ) )
43 df-iso 4080 . 2  |-  ( S  Or  B  <->  ( S  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x S y  ->  (
x S z  \/  z S y ) ) ) )
44 df-iso 4080 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. a  e.  A  A. b  e.  A  A. c  e.  A  ( a R b  ->  (
a R c  \/  c R b ) ) ) )
4542, 43, 443imtr4g 203 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( S  Or  B  ->  R  Or  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805    Po wpo 4077    Or wor 4078   -->wf 4948   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952    Isom wiso 4953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-isom 4961
This theorem is referenced by:  isoso  5515
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