Theorem ltrenn 7137

Description: Ordering of natural numbers with <N or <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltrenn	|- ( J <N K -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Distinct variable groups:   J, l   u, J   K, l   u, K

Proof of Theorem ltrenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelpi 6628	. . 3 |- <N C_ ( N. X. N. )
2	1	brel 4438	. 2 |- ( J <N K -> ( J e. N. /\ K e. N. ) )
3		ltrennb 7136	. . 3 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K <-> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
4	3	biimpd 142	. 2 |- ( ( J e. N. /\ K e. N. ) -> ( J <N K -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. ) )
5	2, 4	mpcom 36	1 |- ( J <N K -> <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. J , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. J , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. <RR <. [ <. ( <. { l | l <Q [ <. K , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. K , 1o >. ] ~Q <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R , 0R >. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   {cab 2069   <.cop 3419   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   1oc1o 6078   [cec 6191   N.cnpi 6576   <N clti 6579   ~Q ceq 6583   <Q cltq 6589   1Pc1p 6596   +P. cpp 6597   ~R cer 6600   0Rc0r 6602   <RR cltrr 7099

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-irdg 6039  df-1o 6085  df-2o 6086  df-oadd 6089  df-omul 6090  df-er 6193  df-ec 6195  df-qs 6199  df-ni 6608  df-pli 6609  df-mi 6610  df-lti 6611  df-plpq 6648  df-mpq 6649  df-enq 6651  df-nqqs 6652  df-plqqs 6653  df-mqqs 6654  df-1nqqs 6655  df-rq 6656  df-ltnqqs 6657  df-enq0 6728  df-nq0 6729  df-0nq0 6730  df-plq0 6731  df-mq0 6732  df-inp 6770  df-i1p 6771  df-iplp 6772  df-iltp 6774  df-enr 7017  df-nr 7018  df-ltr 7021  df-0r 7022  df-r 7105  df-lt 7108

This theorem is referenced by:  axcaucvglemcau  7178