ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recidpipr Unicode version

Theorem recidpipr 6990
Description: Another way of saying that a number times its reciprocal is one. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
recidpipr  |-  ( N  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  =  1P )
Distinct variable group:    N, l, u

Proof of Theorem recidpipr
StepHypRef Expression
1 nnnq 6578 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
2 recclnq 6548 . . . 4  |-  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )
4 mulnqpr 6733 . . 3  |-  ( ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. ) )
51, 3, 4syl2anc 397 . 2  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. ) )
6 recidnq 6549 . . . . . . 7  |-  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  =  1Q )
71, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  N.  ->  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  =  1Q )
87breq2d 3804 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  (
l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <->  l  <Q  1Q ) )
98abbidv 2171 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) }  =  {
l  |  l  <Q  1Q } )
107breq1d 3802 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  (
( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  u  <->  1Q 
<Q  u ) )
1110abbidv 2171 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  { u  |  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  u }  =  {
u  |  1Q  <Q  u } )
129, 11opeq12d 3585 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  |  l 
<Q  1Q } ,  {
u  |  1Q  <Q  u } >. )
13 df-i1p 6623 . . 3  |-  1P  =  <. { l  |  l 
<Q  1Q } ,  {
u  |  1Q  <Q  u } >.
1412, 13syl6eqr 2106 . 2  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  1P )
155, 14eqtr3d 2090 1  |-  ( N  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  =  1P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1259    e. wcel 1409   {cab 2042   <.cop 3406   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1oc1o 6025   [cec 6135   N.cnpi 6428    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436   1Qc1q 6437    .Q cmq 6439   *Qcrq 6440    <Q cltq 6441   1Pc1p 6448    .P. cmp 6450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-imp 6625
This theorem is referenced by:  recidpirq  6992
  Copyright terms: Public domain W3C validator