Theorem mapex 6548

Description: The class of all functions mapping one set to another is a set. Remark after Definition 10.24 of [Kunen] p. 31. (Contributed by Raph Levien, 4-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
mapex	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hints:   C( f)   D( f)

Proof of Theorem mapex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssxp 5290	. . . 4 |- ( f : A --> B -> f C_ ( A X. B ) )
2	1	ss2abi 3169	. . 3 |- { f | f : A --> B } C_ { f | f C_ ( A X. B ) }
3		df-pw 3512	. . 3 |- ~P ( A X. B ) = { f | f C_ ( A X. B ) }
4	2, 3	sseqtrri 3132	. 2 |- { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B )
5		xpexg 4653	. . 3 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A X. B ) e. _V )
6		pwexg 4104	. . 3 |- ( ( A X. B ) e. _V -> ~P ( A X. B ) e. _V )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ~P ( A X. B ) e. _V )
8		ssexg 4067	. 2 |- ( ( { f | f : A --> B } C_ ~P ( A X. B ) /\ ~P ( A X. B ) e. _V ) -> { f | f : A --> B } e. _V )
9	4, 7, 8	sylancr 410	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> { f | f : A --> B } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   {cab 2125   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   ~Pcpw 3510   X. cxp 4537   -->wf 5119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127

This theorem is referenced by:  fnmap  6549  mapvalg  6552  cnovex  12365  ispsmet  12492  cncfval  12728  nninfex  13205