ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsucuniel Unicode version

Theorem nnsucuniel 6159
Description: Given an element  A of the union of a natural number  B,  suc  A is an element of  B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4282). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4302). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
nnsucuniel  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3271 . . . . . . 7  |-  -.  A  e.  (/)
2 uni0 3648 . . . . . . . 8  |-  U. (/)  =  (/)
32eleq2i 2149 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 629 . . . . . 6  |-  -.  A  e.  U. (/)
5 unieq 3630 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  U. B  =  U. (/) )
65eleq2d 2152 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U. (/) ) )
74, 6mtbiri 633 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  -.  A  e.  U. B )
87pm2.21d 582 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
98adantl 271 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  B  =  (/) )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
10 unieq 3630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  suc  n  ->  U. B  =  U. suc  n )
1110eleq2d 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B 
<->  A  e.  U. suc  n ) )
1211ad2antll 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  <->  A  e.  U.
suc  n ) )
1312biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  U. suc  n
)
14 simplrl 502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  n  e.  om )
15 nnord 4380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  Ord  n )
16 ordtr 4161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  n  ->  Tr  n
)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  Tr  n )
18 vex 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  n  e. 
_V
1918unisuc 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  n  <->  U. suc  n  =  n )
2017, 19sylib 120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  U. suc  n  =  n )
2114, 20syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  U. suc  n  =  n )
2221eleq2d 2152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  U. suc  n  <->  A  e.  n
) )
2313, 22mpbid 145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  A  e.  n )
24 nnsucelsuc 6155 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A  e.  n  <->  suc  A  e. 
suc  n ) )
2514, 24syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  -> 
( A  e.  n  <->  suc 
A  e.  suc  n
) )
2623, 25mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  suc  n
)
27 simplrr 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  B  =  suc  n )
2826, 27eleqtrrd 2162 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  /\  A  e.  U. B )  ->  suc  A  e.  B )
2928ex 113 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  ( n  e.  om  /\  B  =  suc  n
) )  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
3029rexlimdvaa 2483 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( E. n  e.  om  B  =  suc  n  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) ) )
3130imp 122 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  E. n  e.  om  B  =  suc  n )  -> 
( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
32 nn0suc 4373 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( B  =  (/)  \/  E. n  e.  om  B  =  suc  n ) )
339, 31, 32mpjaodan 745 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  ->  suc  A  e.  B ) )
34 sucunielr 4282 . 2  |-  ( suc 
A  e.  B  ->  A  e.  U. B )
3533, 34impbid1 140 1  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  U. B  <->  suc  A  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   E.wrex 2354   (/)c0 3267   U.cuni 3621   Tr wtr 3895   Ord word 4145   suc csuc 4148   omcom 4359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-int 3657  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator