Theorem nnsucuniel 6159

Description: Given an element A of the union of a natural number B, suc A is an element of B itself. The reverse direction holds for all ordinals (sucunielr 4282). The forward direction for all ordinals implies excluded middle (ordsucunielexmid 4302). (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsucuniel	|- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Proof of Theorem nnsucuniel

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3271	. . . . . . 7 |- -. A e. (/)
2		uni0 3648	. . . . . . . 8 |- U. (/) = (/)
3	2	eleq2i 2149	. . . . . . 7 |- ( A e. U. (/) <-> A e. (/) )
4	1, 3	mtbir 629	. . . . . 6 |- -. A e. U. (/)
5		unieq 3630	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> U. B = U. (/) )
6	5	eleq2d 2152	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B <-> A e. U. (/) ) )
7	4, 6	mtbiri 633	. . . . 5 |- ( B = (/) -> -. A e. U. B )
8	7	pm2.21d 582	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
9	8	adantl 271	. . 3 |- ( ( B e. om /\ B = (/) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
10		unieq 3630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B = suc n -> U. B = U. suc n )
11	10	eleq2d 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = suc n -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
12	11	ad2antll 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B <-> A e. U. suc n ) )
13	12	biimpa 290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. U. suc n )
14		simplrl 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> n e. om )
15		nnord 4380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> Ord n )
16		ordtr 4161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord n -> Tr n )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> Tr n )
18		vex 2613	. . . . . . . . . . . . 13 |- n e. _V
19	18	unisuc 4196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr n <-> U. suc n = n )
20	17, 19	sylib 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> U. suc n = n )
21	14, 20	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> U. suc n = n )
22	21	eleq2d 2152	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. U. suc n <-> A e. n ) )
23	13, 22	mpbid 145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> A e. n )
24		nnsucelsuc 6155	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
25	14, 24	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> ( A e. n <-> suc A e. suc n ) )
26	23, 25	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. suc n )
27		simplrr 503	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> B = suc n )
28	26, 27	eleqtrrd 2162	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) /\ A e. U. B ) -> suc A e. B )
29	28	ex 113	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ ( n e. om /\ B = suc n ) ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
30	29	rexlimdvaa 2483	. . . 4 |- ( B e. om -> ( E. n e. om B = suc n -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) ) )
31	30	imp 122	. . 3 |- ( ( B e. om /\ E. n e. om B = suc n ) -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
32		nn0suc 4373	. . 3 |- ( B e. om -> ( B = (/) \/ E. n e. om B = suc n ) )
33	9, 31, 32	mpjaodan 745	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. U. B -> suc A e. B ) )
34		sucunielr 4282	. 2 |- ( suc A e. B -> A e. U. B )
35	33, 34	impbid1 140	1 |- ( B e. om -> ( A e. U. B <-> suc A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2354   (/)c0 3267   U.cuni 3621   Tr wtr 3895   Ord word 4145   suc csuc 4148   omcom 4359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-uni 3622  df-int 3657  df-tr 3896  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360

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