ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovid Unicode version

Theorem ovid 5645
Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 16-May-1995.) (Revised by David Abernethy, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ovid.1  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )
ovid.2  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
ovid  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x F y )  =  z  <->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y, z   
z, R    z, S
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    R( x, y)    S( x, y)    F( x, y, z)

Proof of Theorem ovid
StepHypRef Expression
1 df-ov 5543 . . 3  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
21eqeq1i 2063 . 2  |-  ( ( x F y )  =  z  <->  ( F `  <. x ,  y
>. )  =  z
)
3 ovid.1 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  E! z ph )
43fnoprab 5632 . . . . 5  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }
5 ovid.2 . . . . . 6  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }
65fneq1i 5021 . . . . 5  |-  ( F  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } 
<->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
74, 6mpbir 138 . . . 4  |-  F  Fn  {
<. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }
8 opabid 4022 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  <->  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) )
98biimpri 128 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )
10 fnopfvb 5243 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) }  /\  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  R  /\  y  e.  S ) } )  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  =  z  <->  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F ) )
117, 9, 10sylancr 399 . . 3  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  F ) )
125eleq2i 2120 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) } )
13 oprabid 5565 . . . . 5  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) }  <->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  /\  ph ) )
1412, 13bitri 177 . . . 4  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  F  <->  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S
)  /\  ph ) )
1514baib 839 . . 3  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( <. <. x ,  y
>. ,  z >.  e.  F  <->  ph ) )
1611, 15bitrd 181 . 2  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( F `  <. x ,  y >.
)  =  z  <->  ph ) )
172, 16syl5bb 185 1  |-  ( ( x  e.  R  /\  y  e.  S )  ->  ( ( x F y )  =  z  <->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   E!weu 1916   <.cop 3406   {copab 3845    Fn wfn 4925   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   {coprab 5541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator