ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reopnap Unicode version
Theorem reopnap 12707
Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)
Assertion
Ref Expression
reopnap |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
Distinct variable group:   w, A
Proof of Theorem reopnap
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 2837 . . . . 5 |- ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR )
21a1i 9 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } -> x e. RR ) )
3 elun 3217 . . . . 5 |- ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) )
4 rexr 7811 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
5 elioomnf 9751 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> ( x e. RR /\ x < A ) ) )
7 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ x < A ) -> x e. RR )
86, 7syl6bi 162 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( -oo (,) A ) -> x e. RR ) )
9 elioopnf 9750 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
104, 9syl 14 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ A < x ) ) )
11 simpl 108 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A < x ) -> x e. RR )
1210, 11syl6bi 162 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( x e. ( A (,) +oo ) -> x e. RR ) )
138, 12jaod 706 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
143, 13syl5bi 151 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) -> x e. RR ) )
15 reaplt 8350 . . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ A e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
1615ancoms 266 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
17 ibar 299 . . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
1817adantl 275 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x # A <-> ( x e. RR /\ x # A ) ) )
19 breq1 3932 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w # A <-> x # A ) )
2019elrab 2840 . . . . . . 7 |- ( x e. { w e. RR | w # A } <-> ( x e. RR /\ x # A ) )
2118, 20syl6rbbr 198 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x # A ) )
226baibd 908 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( -oo (,) A ) <-> x < A ) )
2310baibd 908 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( A (,) +oo ) <-> A < x ) )
2422, 23orbi12d 782 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( ( x e. ( -oo (,) A ) \/ x e. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
253, 24syl5bb 191 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) <-> ( x < A \/ A < x ) ) )
2616, 21, 253bitr4d 219 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ x e. RR ) -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
2726ex 114 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( x e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) ) )
282, 14, 27pm5.21ndd 694 . . 3 |- ( A e. RR -> ( x e. { w e. RR | w # A } <-> x e. ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) ) )
2928eqrdv 2137 . 2 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } = ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) )
30 retop 12693 . . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
31 mnfxr 7822 . . . 4 |- -oo e. RR*
32 iooretopg 12697 . . . 4 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3331, 4, 32sylancr 410 . . 3 |- ( A e. RR -> ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
34 pnfxr 7818 . . . 4 |- +oo e. RR*
35 iooretopg 12697 . . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
364, 34, 35sylancl 409 . . 3 |- ( A e. RR -> ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
37 unopn 12172 . . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( -oo (,) A ) e. ( topGen ` ran (,) ) /\ ( A (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) ) ) -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3830, 33, 36, 37mp3an2i 1320 . 2 |- ( A e. RR -> ( ( -oo (,) A ) u. ( A (,) +oo ) ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
3929, 38eqeltrd 2216 1 |- ( A e. RR -> { w e. RR | w # A } e. ( topGen ` ran (,) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   e. wcel 1480   {crab 2420   u. cun 3069   class class class wbr 3929   ran crn 4540   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   +oocpnf 7797   -oocmnf 7798   RR*cxr 7799   < clt 7800   # cap 8343   (,)cioo 9671   topGenctg 12135   Topctop 12164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-ioo 9675  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-topgen 12141  df-top 12165  df-bases 12210
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator