ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rpgecl Unicode version

Theorem rpgecl 8709
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rpgecl  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR+ )

Proof of Theorem rpgecl
StepHypRef Expression
1 simp2 916 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
2 0red 7086 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  e.  RR )
3 rpre 8687 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
433ad2ant1 936 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
5 rpgt0 8692 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  0  < 
A )
653ad2ant1 936 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <  A )
7 simp3 917 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
82, 4, 1, 6, 7ltletrd 7492 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B )
9 elrp 8683 . 2  |-  ( B  e.  RR+  <->  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B ) )
101, 8, 9sylanbrc 402 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR+ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   RRcr 6946   0cc0 6947    < clt 7119    <_ cle 7120   RR+crp 8681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1re 7036  ax-addrcl 7039  ax-rnegex 7051  ax-pre-ltwlin 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-xp 4379  df-cnv 4381  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-rp 8682
This theorem is referenced by:  divge1  8747  rpgecld  8760
  Copyright terms: Public domain W3C validator