Theorem sefvex 5227

Description: If a function is set-like, then the function value exists if the input does. (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
sefvex	|- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem sefvex

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2605	. . . . . . . 8 |- x e. _V
2	1	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. _V )
3		simp3 941	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A F x )
4		simp2 940	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> A e. _V )
5		brcnvg 4544	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. _V /\ A e. _V ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
6	1, 4, 5	sylancr 405	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> ( x `' F A <-> A F x ) )
7	3, 6	mpbird 165	. . . . . . 7 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x `' F A )
8		breq1 3796	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( y `' F A <-> x `' F A ) )
9	8	elrab 2750	. . . . . . 7 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } <-> ( x e. _V /\ x `' F A ) )
10	2, 7, 9	sylanbrc 408	. . . . . 6 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x e. { y e. _V | y `' F A } )
11		elssuni 3637	. . . . . 6 |- ( x e. { y e. _V | y `' F A } -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V /\ A F x ) -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
13	12	3expia 1141	. . . 4 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
14	13	alrimiv 1796	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) )
15		fvss 5220	. . 3 |- ( A. x ( A F x -> x C_ U. { y e. _V | y `' F A } ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } )
17		seex 4098	. . 3 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> { y e. _V | y `' F A } e. _V )
18		uniexg 4201	. . 3 |- ( { y e. _V | y `' F A } e. _V -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> U. { y e. _V | y `' F A } e. _V )
20		ssexg 3925	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. { y e. _V | y `' F A } /\ U. { y e. _V | y `' F A } e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
21	16, 19, 20	syl2anc 403	1 |- ( ( `' F Se _V /\ A e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   A.wal 1283   e. wcel 1434   {crab 2353   _Vcvv 2602   C_ wss 2974   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   Se wse 4092   `'ccnv 4370   ` cfv 4932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-se 4096  df-cnv 4379  df-iota 4897  df-fv 4940

This theorem is referenced by: (None)