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Theorem sumeq2d 10397
Description: Equality theorem for sum. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2d.bc |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
Assertion
Ref Expression
sumeq2d |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Distinct variable groups:   A, k   ph, k
Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)
Proof of Theorem sumeq2d
Dummy variables f j m n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> n e. A )
2 sumeq2d.bc . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B = C )
32ralrimiva 2439 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A B = C )
43ad4antr 478 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> A. k e. A B = C )
5 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
6 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ n / k ]_ C
75, 6nfeq 2230 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C
8 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
9 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = n -> C = [_ n / k ]_ C )
108, 9eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( B = C <-> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
117, 10rspc 2704 . . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C ) )
121, 4, 11sylc 61 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) /\ n e. A ) -> [_ n / k ]_ B = [_ n / k ]_ C )
13 simpllr 501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> m e. ZZ )
14 simplrl 502 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
15 simplrr 503 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
16 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
1713, 14, 15, 16sumdc 10396 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> DECID n e. A )
1812, 17ifeq1dadc 3396 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) /\ n e. ZZ ) -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) )
1918mpteq2dva 3888 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) )
20 iseqeq3 9578 . . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) )
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) = seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) )
2221breq1d 3815 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x <-> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) )
2322pm5.32da 440 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) ) )
24 df-3an 922 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) )
25 df-3an 922 . . . . . 6 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) )
2623, 24, 253bitr4g 221 . . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) ) )
2726rexbidva 2370 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) ) )
28 f1of 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... m ) --> A )
2928ad3antlr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> f : ( 1 ... m ) --> A )
30 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. NN )
31 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n <_ m )
32 simp-4r 509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. NN )
3332nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> m e. ZZ )
34 fznn 9234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ZZ -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3533, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( n e. ( 1 ... m ) <-> ( n e. NN /\ n <_ m ) ) )
3630, 31, 35mpbir2and 886 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> n e. ( 1 ... m ) )
3729, 36ffvelrnd 5355 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> ( f ` n ) e. A )
383ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> A. k e. A B = C )
39 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B
40 nfcsb1v 2947 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ k [_ ( f ` n ) / k ]_ C
4139, 40nfeq 2230 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C
42 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> B = [_ ( f ` n ) / k ]_ B )
43 csbeq1a 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( f ` n ) -> C = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
4442, 43eqeq12d 2097 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( f ` n ) -> ( B = C <-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4541, 44rspc 2704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A B = C -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C ) )
4637, 38, 45sylc 61 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) /\ n <_ m ) -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` n ) / k ]_ C )
47 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. NN )
4847nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> n e. ZZ )
49 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. NN )
5049nnzd 8601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> m e. ZZ )
51 zdcle 8557 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> DECID n <_ m )
5248, 50, 51syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> DECID n <_ m )
5346, 52ifeq1dadc 3396 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ n e. NN ) -> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) )
5453mpteq2dva 3888 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) )
55 iseqeq3 9578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) )
5654, 55syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) )
5756fveq1d 5231 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) )
5857eqeq2d 2094 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) <-> x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) )
5958pm5.32da 440 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) )
6059exbidv 1748 . . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) )
6160rexbidva 2370 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) )
6227, 61orbi12d 740 . . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) ) )
6362iotabidv 4938 . 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) ) = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) ) )
64 df-isum 10392 . 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) )
65 df-isum 10392 . 2 |- sum_ k e. A C = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ C , 0 ) ) , CC ) ` m ) ) ) )
6663, 64, 653eqtr4g 2140 1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = sum_ k e. A C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 776   /\ w3a 920   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354   [_csb 2917   C_ wss 2982   ifcif 3368   class class class wbr 3805   |-> cmpt 3859   iotacio 4915   -->wf 4948   -1-1-onto->wf1o 4951   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   CCcc 7093   0cc0 7095   1c1 7096   + caddc 7098   <_ cle 7268   NNcn 8158   ZZcz 8484   ZZ>=cuz 8752   ...cfz 9157   seqcseq 9573   ~~> cli 10318   sum_csu 10391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158  df-iseq 9574  df-isum 10392
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