Theorem sumeq1d 11140

Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
sumeq1d	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)

Proof of Theorem sumeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		sumeq1 11129	. 2 |- ( A = B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   sum_csu 11127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-if 3475  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-recs 6202  df-frec 6288  df-seqfrec 10224  df-sumdc 11128

This theorem is referenced by:  sumeq12dv  11146  sumeq12rdv  11147  fsumf1o  11164  fisumss  11166  fsumcllem  11173  fsum1  11186  fzosump1  11191  fsump1  11194  fsum2d  11209  fisumcom2  11212  fsumshftm  11219  fisumrev2  11220  telfsumo  11240  telfsum  11242  telfsum2  11243  fsumparts  11244  fsumiun  11251  bcxmas  11263  isumsplit  11265  isum1p  11266  arisum  11272  arisum2  11273  geoserap  11281  geolim  11285  geo2sum2  11289  cvgratnnlemseq  11300  cvgratnnlemsumlt  11302  mertenslemub  11308  mertenslemi1  11309  mertenslem2  11310  mertensabs  11311  efcvgfsum  11378  eftlub  11401  effsumlt  11403  eirraplem  11488  cvgcmp2nlemabs  13232  trilpolemeq1  13238