ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  supeq2 Unicode version

Theorem supeq2 6461
Description: Equality theorem for supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
supeq2  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )

Proof of Theorem supeq2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabeq 2596 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
2 raleq 2550 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z )  <->  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) )
32anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( B  =  C  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) ) )
43rabbidv 2594 . . . 4  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
51, 4eqtrd 2114 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }  =  { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
65unieqd 3620 . 2  |-  ( B  =  C  ->  U. {
x  e.  B  | 
( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R
z ) ) }  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  ( y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) } )
7 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( A ,  B ,  R )  =  U. { x  e.  B  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  B  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
8 df-sup 6456 . 2  |-  sup ( A ,  C ,  R )  =  U. { x  e.  C  |  ( A. y  e.  A  -.  x R y  /\  A. y  e.  C  (
y R x  ->  E. z  e.  A  y R z ) ) }
96, 7, 83eqtr4g 2139 1  |-  ( B  =  C  ->  sup ( A ,  B ,  R )  =  sup ( A ,  C ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   A.wral 2349   E.wrex 2350   {crab 2353   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   supcsup 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-uni 3610  df-sup 6456
This theorem is referenced by:  infeq2  6486
  Copyright terms: Public domain W3C validator