Theorem suprlubex 8713

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprlubex.b	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
suprlubex	|- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x   z, B

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y)

Proof of Theorem suprlubex

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprlubex.b	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
2		lttri3 7847	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3	2	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4		suprubex.ex	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
5		ltso 7845	. . . 4 |- < Or RR
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> < Or RR )
7		suprubex.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
8	3, 4, 6, 7	suplub2ti 6888	. 2 |- ( ( ph /\ B e. RR ) -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )
9	1, 8	mpdan 417	1 |- ( ph -> ( B < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A B < z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   Or wor 4217   supcsup 6869   RRcr 7622   < clt 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-ltxr 7808

This theorem is referenced by:  suprnubex  8714  suprzclex  9152