ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lttri3 Unicode version

Theorem lttri3 7310
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by NM, 5-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri3
StepHypRef Expression
1 ltnr 7307 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
2 breq2 3809 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  A  <  B ) )
32notbid 625 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  A  <->  -.  A  <  B ) )
41, 3syl5ibcom 153 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  -.  A  <  B ) )
5 breq1 3808 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  <  A  <->  B  <  A ) )
65notbid 625 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  A  <->  -.  B  <  A ) )
71, 6syl5ibcom 153 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  -.  B  <  A ) )
84, 7jcad 301 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A
) ) )
98adantr 270 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  ->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
10 ioran 702 . . 3  |-  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) )
11 axapti 7302 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) )  ->  A  =  B )
12113expia 1141 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  A  =  B ) )
1310, 12syl5bir 151 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A )  ->  A  =  B ) )
149, 13impbid 127 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  < 
B  /\  -.  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   RRcr 7094    < clt 7267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-apti 7205
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-xp 4397  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272
This theorem is referenced by:  letri3  7311  lttri3i  7327  lttri3d  7344  inelr  7803  lbinf  8145  suprubex  8148  suprlubex  8149  suprleubex  8151  suprzclex  8578  infrenegsupex  8815  supminfex  8818  xrlttri3  9000  maxleim  10292  maxabs  10296  maxleast  10300  zsupcl  10550  zssinfcl  10551  infssuzledc  10553  dvdslegcd  10563  bezoutlemsup  10605  dfgcd2  10610  lcmgcdlem  10666
  Copyright terms: Public domain W3C validator