ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltso Unicode version

Theorem ltso 7308
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltnr 7307 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  -.  x  <  x )
21adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR )  ->  -.  x  <  x )
3 lttr 7304 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
43adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  -> 
( ( x  < 
y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z ) )
52, 4ispod 4087 . . 3  |-  ( T. 
->  <  Po  RR )
65trud 1294 . 2  |-  <  Po  RR
7 axltwlin 7299 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  ( x  <  z  \/  z  <  y ) ) )
87rgen3 2453 . 2  |-  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) )
9 df-iso 4080 . 2  |-  (  < 
Or  RR  <->  (  <  Po  RR  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  A. z  e.  RR  ( x  < 
y  ->  ( x  <  z  \/  z  < 
y ) ) ) )
106, 8, 9mpbir2an 884 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662    /\ w3a 920   T. wtru 1286    e. wcel 1434   A.wral 2353   class class class wbr 3805    Po wpo 4077    Or wor 4078   RRcr 7094    < clt 7267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-ltxr 7272
This theorem is referenced by:  gtso  7309  ltnsym2  7320  suprlubex  8149
  Copyright terms: Public domain W3C validator