ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zltlen Unicode version

Theorem zltlen 8507
Description: Integer 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. Also see ltleap 7797 which is a similar result for real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
zltlen  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/=  A ) ) )

Proof of Theorem zltlen
StepHypRef Expression
1 zre 8436 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 zre 8436 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
3 ltleap 7797 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A #  B ) ) )
5 zapne 8503 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A #  B  <->  A  =/=  B ) )
65anbi2d 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  <_  B  /\  A #  B )  <-> 
( A  <_  B  /\  A  =/=  B
) ) )
74, 6bitrd 186 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  A  =/=  B ) ) )
8 necom 2330 . . 3  |-  ( A  =/=  B  <->  B  =/=  A )
98anbi2i 445 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  A  =/=  B )  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/= 
A ) )
107, 9syl6bb 194 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/=  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434    =/= wne 2246   class class class wbr 3793   RRcr 7042    < clt 7215    <_ cle 7216   # cap 7748   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  nn0lt2  8510  fzdifsuc  9174  fzofzim  9274  expival  9575  oddprmgt2  10659
  Copyright terms: Public domain W3C validator