Theorem bdop 13073

Description: The ordered pair of two setvars is a bounded class. (Contributed by BJ, 21-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bdop	⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Proof of Theorem bdop

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdvsn 13072	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥}
2		bdcpr 13069	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦}
3	2	bdss 13062	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED 𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦}
4		ax-bdel 13019	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑥 ∈ 𝑧
5		ax-bdel 13019	. . . . . . . 8 ⊢ BOUNDED 𝑦 ∈ 𝑧
6	4, 5	ax-bdan 13013	. . . . . . 7 ⊢ BOUNDED (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)
7		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
8	7	prid1 3629	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦}
9		ssel 3091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑥 ∈ 𝑧))
10	8, 9	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑥 ∈ 𝑧)
11		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	prid2 3630	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦}
13		ssel 3091	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑦 ∈ {𝑥, 𝑦} → 𝑦 ∈ 𝑧))
14	12, 13	mpi 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → 𝑦 ∈ 𝑧)
15	10, 14	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 → (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
16		prssi 3678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
17	15, 16	impbii 125	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝑧 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧))
18	6, 17	bd0r 13023	. . . . . 6 ⊢ BOUNDED {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧
19	3, 18	ax-bdan 13013	. . . . 5 ⊢ BOUNDED (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧)
20		eqss 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = {𝑥, 𝑦} ↔ (𝑧 ⊆ {𝑥, 𝑦} ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑧))
21	19, 20	bd0r 13023	. . . 4 ⊢ BOUNDED 𝑧 = {𝑥, 𝑦}
22	1, 21	ax-bdor 13014	. . 3 ⊢ BOUNDED (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦})
23		vex 2689	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
24	23, 7, 11	elop 4153	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝑧 = {𝑥} ∨ 𝑧 = {𝑥, 𝑦}))
25	22, 24	bd0r 13023	. 2 ⊢ BOUNDED 𝑧 ∈ ⟨𝑥, 𝑦⟩
26	25	bdelir 13045	1 ⊢ BOUNDED ⟨𝑥, 𝑦⟩

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  {csn 3527  {cpr 3528  ⟨cop 3530  BOUNDED wbdc 13038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-bd0 13011  ax-bdan 13013  ax-bdor 13014  ax-bdal 13016  ax-bdeq 13018  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-bdc 13039

This theorem is referenced by: (None)