Theorem cnlimci 12814

Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
cnlimci.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5421	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
2		oveq2 5782	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 limℂ 𝑥) = (𝐹 limℂ 𝐵))
3	1, 2	eleq12d 2210	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
4		cnlimci.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
5		cncfrss 12734	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cncfrss2 12735	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
9		ssid 3117	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10		cncfss 12742	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
11	8, 9, 10	sylancl 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
12	11, 4	sseldd 3098	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
13		cnlimcim 12812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	imp 123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
15	14	simprd 113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
16	6, 12, 15	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
17		cnlimci.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
18	3, 16, 17	rspcdva 2794	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   ⊆ wss 3071  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  –cn→ccncf 12729   lim_ℂ climc 12795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-xneg 9562  df-xadd 9563  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-met 12161  df-bl 12162  df-mopn 12163  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-cn 12360  df-cnp 12361  df-cncf 12730  df-limced 12797

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  12815