Theorem coseq0q4123 12915

Description: Location of the zeroes of cosine in (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0q4123	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Proof of Theorem coseq0q4123

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7766	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2	1	ltnri 7856	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
3		elioore 9695	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		halfpire 12873	. . . . . 6 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
6		reaplt 8350	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
7	4, 5, 6	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) ↔ (𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴)))
8	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		neghalfpirx 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
10		3re 8794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10, 5	remulcli 7780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
12	11	rexri 7823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
13		elioo2 9704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
14	9, 12, 13	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
15	14	simp2bi 997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → -(π / 2) < 𝐴)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
17		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
18	9	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → -(π / 2) ∈ ℝ*)
19	5	rexri 7823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
20		elioo2 9704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
21	18, 19, 20	sylancl 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
22	8, 16, 17, 21	mpbir3and 1164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
23		cosq14gt0 12913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
25	24	adantlr 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))
26		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < (π / 2)) → 0 < 0)
28	27	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 < (π / 2) → 0 < 0))
29		simplr 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
30	3	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
31		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (π / 2) < 𝐴)
32	14	simp3bi 998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
34		elioo2 9704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
35	19, 12, 34	mp2an 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
36	30, 31, 33, 35	syl3anbrc 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
37		cosq23lt0 12914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → (cos‘𝐴) < 0)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
39	38	adantlr 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → (cos‘𝐴) < 0)
40	29, 39	eqbrtrrd 3952	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0)
41	40	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((π / 2) < 𝐴 → 0 < 0))
42	28, 41	jaod 706	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ((𝐴 < (π / 2) ∨ (π / 2) < 𝐴) → 0 < 0))
43	7, 42	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 # (π / 2) → 0 < 0))
44	2, 43	mtoi 653	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → ¬ 𝐴 # (π / 2))
45	3	recnd 7794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46		picn 12868	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
47		halfcl 8946	. . . . 5 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
48	46, 47	mp1i 10	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (π / 2) ∈ ℂ)
49		apti 8384	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (π / 2) ∈ ℂ) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
50	45, 48, 49	syl2an2r 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (𝐴 = (π / 2) ↔ ¬ 𝐴 # (π / 2)))
51	44, 50	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 = (π / 2))
52		fveq2 5421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
53		coshalfpi 12878	. . . 4 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
54	52, 53	syl6eq 2188	. . 3 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
55	54	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ∧ 𝐴 = (π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
56	51, 55	impbida 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620   · cmul 7625  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800  -cneg 7934   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  3c3 8772  (,)cioo 9671  cosccos 11351  πcpi 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740  ax-pre-suploc 7741  ax-addf 7742  ax-mulf 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ioo 9675  df-ioc 9676  df-ico 9677  df-icc 9678  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-bc 10494  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-sin 11356  df-cos 11357  df-pi 11359  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-cn 12357  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-cncf 12727  df-limced 12794  df-dvap 12795

This theorem is referenced by:  coseq00topi  12916  coseq0negpitopi  12917