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Theorem dvds2ln 10140
Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 921 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 simpr2 922 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2jca 294 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4 simpr3 923 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
51, 4jca 294 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6 simpll 489 . . . . 5 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℤ)
76, 2zmulcld 8425 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐼 · 𝑀) ∈ ℤ)
8 simplr 490 . . . . 5 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℤ)
98, 4zmulcld 8425 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐽 · 𝑁) ∈ ℤ)
107, 9zaddcld 8423 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ)
111, 10jca 294 . 2 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)) ∈ ℤ))
12 zmulcl 8355 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ)
13 zmulcl 8355 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 325 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
1514an4s 530 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
1615expcom 113 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
1716adantr 265 . . . 4 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ)))
1817imp 119 . . 3 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ))
19 zaddcl 8342 . . 3 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
2018, 19syl 14 . 2 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) ∈ ℤ)
21 zcn 8307 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ → (𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ)
22 zcn 8307 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ → (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ)
2321, 22anim12i 325 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
2418, 23syl 14 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ))
251zcnd 8420 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
2625adantr 265 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 adddir 7076 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
28273expa 1115 . . . . . 6 ((((𝑥 · 𝐼) ∈ ℂ ∧ (𝑦 · 𝐽) ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
2924, 26, 28syl2anc 397 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)))
30 zcn 8307 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3130adantr 265 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3231adantl 266 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
33 zcn 8307 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℂ)
3433ad3antrrr 469 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐼 ∈ ℂ)
3532, 34, 26mul32d 7227 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) = ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼))
36 zcn 8307 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
3736adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3837adantl 266 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
398zcnd 8420 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
4039adantr 265 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℂ)
4138, 40, 26mul32d 7227 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾) = ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽))
4235, 41oveq12d 5558 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) · 𝐾) + ((𝑦 · 𝐽) · 𝐾)) = (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)))
4332, 26mulcld 7105 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑥 · 𝐾) ∈ ℂ)
4443, 34mulcomd 7106 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) = (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)))
4538, 26mulcld 7105 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑦 · 𝐾) ∈ ℂ)
4645, 40mulcomd 7106 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽) = (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)))
4744, 46oveq12d 5558 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) · 𝐼) + ((𝑦 · 𝐾) · 𝐽)) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
4829, 42, 473eqtrd 2092 . . . 4 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))))
49 oveq2 5548 . . . . 5 ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 → (𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) = (𝐼 · 𝑀))
50 oveq2 5548 . . . . 5 ((𝑦 · 𝐾) = 𝑁 → (𝐽 · (𝑦 · 𝐾)) = (𝐽 · 𝑁))
5149, 50oveqan12d 5559 . . . 4 (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → ((𝐼 · (𝑥 · 𝐾)) + (𝐽 · (𝑦 · 𝐾))) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
5248, 51sylan9eq 2108 . . 3 (((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁)) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁)))
5352ex 112 . 2 ((((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · 𝐾) = 𝑀 ∧ (𝑦 · 𝐾) = 𝑁) → (((𝑥 · 𝐼) + (𝑦 · 𝐽)) · 𝐾) = ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 10120 1 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ∥ ((𝐼 · 𝑀) + (𝐽 · 𝑁))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cc 6945   + caddc 6950   · cmul 6952  cz 8302  cdvds 10108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-dvds 10109
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