Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvds2ln Unicode version

Theorem dvds2ln 10373
 Description: If an integer divides each of two other integers, it divides any linear combination of them. Theorem 1.1(c) in [ApostolNT] p. 14 (linearity property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvds2ln

Proof of Theorem dvds2ln
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 945 . . 3
2 simpr2 946 . . 3
31, 2jca 300 . 2
4 simpr3 947 . . 3
51, 4jca 300 . 2
6 simpll 496 . . . . 5
76, 2zmulcld 8556 . . . 4
8 simplr 497 . . . . 5
98, 4zmulcld 8556 . . . 4
107, 9zaddcld 8554 . . 3
111, 10jca 300 . 2
12 zmulcl 8485 . . . . . . . 8
13 zmulcl 8485 . . . . . . . 8
1412, 13anim12i 331 . . . . . . 7
1514an4s 553 . . . . . 6
1615expcom 114 . . . . 5
1716adantr 270 . . . 4
1817imp 122 . . 3
19 zaddcl 8472 . . 3
2018, 19syl 14 . 2
21 zcn 8437 . . . . . . . 8
22 zcn 8437 . . . . . . . 8
2321, 22anim12i 331 . . . . . . 7
2418, 23syl 14 . . . . . 6
251zcnd 8551 . . . . . . 7
2625adantr 270 . . . . . 6
27 adddir 7172 . . . . . . 7
28273expa 1139 . . . . . 6
2924, 26, 28syl2anc 403 . . . . 5
30 zcn 8437 . . . . . . . . 9
3130adantr 270 . . . . . . . 8
3231adantl 271 . . . . . . 7
33 zcn 8437 . . . . . . . 8
3433ad3antrrr 476 . . . . . . 7
3532, 34, 26mul32d 7328 . . . . . 6
36 zcn 8437 . . . . . . . . 9
3736adantl 271 . . . . . . . 8
3837adantl 271 . . . . . . 7
398zcnd 8551 . . . . . . . 8
4039adantr 270 . . . . . . 7
4138, 40, 26mul32d 7328 . . . . . 6
4235, 41oveq12d 5561 . . . . 5
4332, 26mulcld 7201 . . . . . . 7
4443, 34mulcomd 7202 . . . . . 6
4538, 26mulcld 7201 . . . . . . 7
4645, 40mulcomd 7202 . . . . . 6
4744, 46oveq12d 5561 . . . . 5
4829, 42, 473eqtrd 2118 . . . 4
49 oveq2 5551 . . . . 5
50 oveq2 5551 . . . . 5
5149, 50oveqan12d 5562 . . . 4
5248, 51sylan9eq 2134 . . 3
5352ex 113 . 2
543, 5, 11, 20, 53dvds2lem 10352 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   w3a 920   wceq 1285   wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543  cc 7041   caddc 7046   cmul 7048  cz 8432   cdvds 10340 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-dvds 10341 This theorem is referenced by:  gcdaddm  10519  dvdsgcd  10545
 Copyright terms: Public domain W3C validator