ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsprime GIF version

Theorem dvdsprime 10729
Description: If 𝑀 divides a prime, then 𝑀 is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprime ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))

Proof of Theorem dvdsprime
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isprm2 10724 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))))
2 breq1 3808 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑃𝑀𝑃))
3 eqeq1 2089 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 1 ↔ 𝑀 = 1))
4 eqeq1 2089 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 = 𝑃𝑀 = 𝑃))
53, 4orbi12d 740 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃)))
6 orcom 680 . . . . . . 7 ((𝑀 = 1 ∨ 𝑀 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1))
75, 6syl6bb 194 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃) ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
82, 7imbi12d 232 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → ((𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ↔ (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1))))
98rspccva 2709 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
109adantll 460 . . 3 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑚𝑃 → (𝑚 = 1 ∨ 𝑚 = 𝑃))) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
111, 10sylanb 278 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 → (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
12 prmz 10718 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
13 iddvds 10434 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1412, 13syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
1514adantr 270 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃𝑃)
16 breq1 3808 . . . 4 (𝑀 = 𝑃 → (𝑀𝑃𝑃𝑃))
1715, 16syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 𝑃𝑀𝑃))
18 1dvds 10435 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑃)
1912, 18syl 14 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∥ 𝑃)
2019adantr 270 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 1 ∥ 𝑃)
21 breq1 3808 . . . 4 (𝑀 = 1 → (𝑀𝑃 ↔ 1 ∥ 𝑃))
2220, 21syl5ibrcom 155 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 = 1 → 𝑀𝑃))
2317, 22jaod 670 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 = 𝑃𝑀 = 1) → 𝑀𝑃))
2411, 23impbid 127 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑃 ↔ (𝑀 = 𝑃𝑀 = 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353   class class class wbr 3805  cfv 4952  1c1 7114  cn 8176  2c2 8226  cz 8502  cuz 8770  cdvds 10421  cprime 10714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227  ax-caucvg 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-1o 6086  df-2o 6087  df-er 6194  df-en 6310  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-2 8235  df-3 8236  df-4 8237  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-iseq 9592  df-iexp 9643  df-cj 9948  df-re 9949  df-im 9950  df-rsqrt 10103  df-abs 10104  df-dvds 10422  df-prm 10715
This theorem is referenced by:  prm2orodd  10733
  Copyright terms: Public domain W3C validator