Theorem efeul 11444

Description: Eulerian representation of the complex exponential. (Suggested by Jeff Hankins, 3-Jul-2006.) (Contributed by NM, 4-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
efeul	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))

Proof of Theorem efeul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10634	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	fveq2d 5425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))))
3		recl 10628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	recnd 7797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5		ax-icn 7718	. . . 4 ⊢ i ∈ ℂ
6		imcl 10629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 7797	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8		mulcl 7750	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
9	5, 7, 8	sylancr 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
10		efadd 11384	. . 3 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
11	4, 9, 10	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))))
12		efival 11442	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) = ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴)))))
13	7, 12	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (ℑ‘𝐴))) = ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴)))))
14	13	oveq2d 5790	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · (exp‘(i · (ℑ‘𝐴)))) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))
15	2, 11, 14	3eqtrd 2176	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = ((exp‘(ℜ‘𝐴)) · ((cos‘(ℑ‘𝐴)) + (i · (sin‘(ℑ‘𝐴))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  ici 7625   + caddc 7626   · cmul 7628  ℜcre 10615  ℑcim 10616  expce 11351  sincsin 11353  cosccos 11354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-ico 9680  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-fac 10475  df-bc 10497  df-ihash 10525  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126  df-ef 11357  df-sin 11359  df-cos 11360

This theorem is referenced by: (None)