ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fressnfv GIF version

Theorem fressnfv 5375
Description: The value of a function restricted to a singleton. (Contributed by NM, 9-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
fressnfv ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶))

Proof of Theorem fressnfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sneq 3411 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → {𝑥} = {𝐵})
2 reseq2 4632 . . . . . . . 8 ({𝑥} = {𝐵} → (𝐹 ↾ {𝑥}) = (𝐹 ↾ {𝐵}))
32feq1d 5059 . . . . . . 7 ({𝑥} = {𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}):{𝑥}⟶𝐶))
4 feq2 5056 . . . . . . 7 ({𝑥} = {𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶))
53, 4bitrd 181 . . . . . 6 ({𝑥} = {𝐵} → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶))
61, 5syl 14 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶))
7 fveq2 5203 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
87eleq1d 2120 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
96, 8bibi12d 228 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶) ↔ ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)))
109imbi2d 223 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)) ↔ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶))))
11 fnressn 5374 . . . . 5 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩})
12 vsnid 3428 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ {𝑥}
13 fvres 5223 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥} → ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1412, 13ax-mp 7 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) = (𝐹𝑥)
1514opeq2i 3578 . . . . . . . 8 𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩ = ⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩
1615sneqi 3412 . . . . . . 7 {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩} = {⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩}
1716eqeq2i 2064 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩} ↔ (𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩})
18 vex 2575 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
1918fsn2 5362 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩}))
2014eleq1i 2117 . . . . . . . 8 (((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
21 iba 288 . . . . . . . 8 ((𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩} → (((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩})))
2220, 21syl5rbbr 188 . . . . . . 7 ((𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩} → ((((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥) ∈ 𝐶 ∧ (𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
2319, 22syl5bb 185 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, ((𝐹 ↾ {𝑥})‘𝑥)⟩} → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
2417, 23sylbir 129 . . . . 5 ((𝐹 ↾ {𝑥}) = {⟨𝑥, (𝐹𝑥)⟩} → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
2511, 24syl 14 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
2625expcom 113 . . 3 (𝑥𝐴 → (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ {𝑥}):{𝑥}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)))
2710, 26vtoclga 2634 . 2 (𝐵𝐴 → (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶)))
2827impcom 120 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → ((𝐹 ↾ {𝐵}):{𝐵}⟶𝐶 ↔ (𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  {csn 3400  cop 3403  cres 4372   Fn wfn 4922  wf 4923  cfv 4927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-v 2574  df-sbc 2785  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator