Theorem funfvdm2 5485

Description: The value of a function. Definition of function value in [Enderton] p. 43. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funfvdm2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹

Proof of Theorem funfvdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvdm 5484	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ (𝐹 “ {𝐴}))
2		imasng 4904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹 “ {𝐴}) = {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
3	2	adantl 275	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 “ {𝐴}) = {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
4	3	unieqd 3747	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∪ (𝐹 “ {𝐴}) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
5	1, 4	eqtrd 2172	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cab 2125  {csn 3527  ∪ cuni 3736   class class class wbr 3929  dom cdm 4539   “ cima 4542  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  funfvdm2f  5486