Theorem iccshftl 9779

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftl.1	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftl.2	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftl	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccshftl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		resubcl 8026	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 174	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ))
5		lesub1 8218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
6	5	3expb 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
7	6	adantlr 468	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅)))
8		iccshftl.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
9	8	breq1i 3936	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 𝑅) ≤ (𝑋 − 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅))
10	7, 9	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅)))
11		lesub1 8218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
12	11	3expb 1182	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
13	12	an12s 554	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
14	13	adantll 467	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅)))
15		iccshftl.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
16	15	breq2i 3937	. . . 4 ⊢ ((𝑋 − 𝑅) ≤ (𝐵 − 𝑅) ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)
17	14, 16	syl6bb 195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷))
18	4, 10, 17	3anbi123d 1290	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
19		elicc2 9721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
20	19	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
21		resubcl 8026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝑅) ∈ ℝ)
22	8, 21	eqeltrrid 2227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
23		resubcl 8026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝑅) ∈ ℝ)
24	15, 23	eqeltrrid 2227	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
25		elicc2 9721	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
26	22, 24, 25	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
27	26	anandirs 582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
28	27	adantrl 469	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 − 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 − 𝑅) ∧ (𝑋 − 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	18, 20, 28	3bitr4d 219	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619   ≤ cle 7801   − cmin 7933  [,]cicc 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-icc 9678

This theorem is referenced by:  iccshftli  9780  iccf1o  9787