ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resubcl GIF version

Theorem resubcl 7338
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 7072 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 7072 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 7322 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 277 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
5 renegcl 7335 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6 readdcl 7065 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
84, 7eqeltrrd 2131 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  (class class class)co 5540  cc 6945  cr 6946   + caddc 6950  cmin 7245  -cneg 7246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-setind 4290  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-sub 7247  df-neg 7248
This theorem is referenced by:  peano2rem  7341  resubcld  7451  posdif  7524  lt2sub  7529  le2sub  7530  cju  7989  elz2  8370  difrp  8717  iooshf  8922  iccshftl  8965  lincmb01cmp  8972  uzsubsubfz  9013  difelfzle  9094  fzonmapblen  9145  eluzgtdifelfzo  9155  subfzo0  9199  modfzo0difsn  9345  expubnd  9477  absdiflt  9919  absdifle  9920  elicc4abs  9921  abssubge0  9929  abs2difabs  9935
  Copyright terms: Public domain W3C validator