ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  icodisj GIF version

Theorem icodisj 8931
Description: End-to-end closed-below, open-above real intervals are disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
icodisj ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem icodisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3151 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
2 elico1 8863 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
323adant3 933 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵)))
43biimpa 284 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 < 𝐵))
54simp3d 927 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
65adantrr 456 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → 𝑥 < 𝐵)
7 elico1 8863 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
873adant1 931 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶)))
98biimpa 284 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝑥 ∈ ℝ*𝐵𝑥𝑥 < 𝐶))
109simp2d 926 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵𝑥)
11 simpl2 917 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
129simp1d 925 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
13 xrlenlt 7113 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1411, 12, 13syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
1510, 14mpbid 139 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
1615adantrl 455 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶))) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
176, 16pm2.65da 595 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)))
1817pm2.21d 557 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
191, 18syl5bi 145 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) → 𝑥 ∈ ∅))
2019ssrdv 2976 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅)
21 ss0 3282 . 2 (((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
2220, 21syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) ∩ (𝐵[,)𝐶)) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  cin 2941  wss 2942  c0 3249   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  *cxr 7088   < clt 7089  cle 7090  [,)cico 8830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-br 3790  df-opab 3844  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-le 7095  df-ico 8834
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator