Theorem irradd 8848

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 2992	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 8827	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 7197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 461	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		qsubcl 8840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	expcom 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
8	7	adantl 271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
9		recn 7204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		qcn 8836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
14	8, 13	sylibd 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	con3d 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
16	15	ex 113	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℚ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
17	16	com23 77	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
18	17	imp31 252	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
19	5, 18	jca 300	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
20	1, 19	sylanb 278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
21		eldif 2992	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
22	20, 21	sylibr 132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434   ∖ cdif 2980  (class class class)co 5564  ℂcc 7077  ℝcr 7078   + caddc 7082   − cmin 7382  ℚcq 8821

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3917  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-n0 8392  df-z 8469  df-q 8822

This theorem is referenced by: (None)