ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lesub0 GIF version

Theorem lesub0 7547
Description: Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lesub0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem lesub0
StepHypRef Expression
1 0red 7085 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 letri3 7157 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
31, 2sylan2 274 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 0 ↔ (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴)))
4 ancom 257 . . 3 ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0))
5 simpr 107 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 0red 7085 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
7 simpl 106 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lesub2 7525 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴)))
95, 6, 7, 8syl3anc 1146 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴)))
107recnd 7112 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1110subid1d 7373 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
1211breq1d 3801 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 0) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
139, 12bitrd 181 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
1413ancoms 259 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐵 ≤ (𝐵𝐴)))
1514anbi2d 445 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 0) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴))))
164, 15syl5bb 185 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴))))
173, 16bitr2d 182 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴𝐵 ≤ (𝐵𝐴)) ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  cr 6945  0cc0 6946  cle 7119  cmin 7244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-addcom 7041  ax-addass 7043  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247
This theorem is referenced by:  lesub0i  7561
  Copyright terms: Public domain W3C validator