Theorem n2dvds3 10448

Description: 2 does not divide 3, i.e. 3 is an odd number. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n2dvds3	⊢ ¬ 2 ∥ 3

Proof of Theorem n2dvds3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8449	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		iddvds 10342	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ 2 ∥ 2
4		3m1e2 8214	. . 3 ⊢ (3 − 1) = 2
5	3, 4	breqtrri 3812	. 2 ⊢ 2 ∥ (3 − 1)
6		3z 8450	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
7		oddm1even 10408	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (3 − 1)))
8	6, 7	ax-mp 7	. 2 ⊢ (¬ 2 ∥ 3 ↔ 2 ∥ (3 − 1))
9	5, 8	mpbir 144	1 ⊢ ¬ 2 ∥ 3

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3787  (class class class)co 5537  1c1 7033   − cmin 7335  2c2 8145  3c3 8146  ℤcz 8421   ∥ cdvds 10329

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-xor 1308  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-br 3788  df-opab 3842  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-n0 8345  df-z 8422  df-dvds 10330

This theorem is referenced by: (None)