Theorem nn0ssre 8981

Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssre	⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 8978	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssre 8724	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
3		0re 7766	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		snssi 3664	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℝ
6	2, 5	unssi 3251	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
7	1, 6	eqsstri 3129	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  {csn 3527  ℝcr 7619  0cc0 7620  ℕcn 8720  ℕ₀cn0 8977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1re 7714  ax-addrcl 7717  ax-rnegex 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-int 3772  df-inn 8721  df-n0 8978

This theorem is referenced by:  nn0sscn  8982  nn0re  8986  nn0rei  8988  nn0red  9031