Theorem op1stbg 4400

Description: Extract the first member of an ordered pair. Theorem 73 of [Suppes] p. 42. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
op1stbg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴)

Proof of Theorem op1stbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3703	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2	1	inteqd 3776	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
3		snexg 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
4		prexg 4133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
5		intprg 3804	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}))
6	3, 4, 5	syl2an2r 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}))
7		snsspr1 3668	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵}
8		df-ss 3084	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴} ⊆ {𝐴, 𝐵} ↔ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴})
9	7, 8	mpbi 144	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ {𝐴, 𝐵}) = {𝐴}
10	6, 9	syl6eq 2188	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} = {𝐴})
11	2, 10	eqtrd 2172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝐴})
12	11	inteqd 3776	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = ∩ {𝐴})
13		intsng 3805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∩ {𝐴} = 𝐴)
14	13	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ {𝐴} = 𝐴)
15	12, 14	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∩ ∩ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  {csn 3527  {cpr 3528  ⟨cop 3530  ∩ cint 3771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-int 3772

This theorem is referenced by:  elxp5  5027  fundmen  6700