ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resoprab2 GIF version

Theorem resoprab2 5625
Description: Restriction of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
resoprab2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resoprab2
StepHypRef Expression
1 resoprab 5624 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))}
2 anass 387 . . . 4 ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)))
3 an4 528 . . . . . 6 (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
4 ssel 2966 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶𝑥𝐴))
54pm4.71d 379 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → (𝑥𝐶 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐴)))
65bicomd 133 . . . . . . 7 (𝐶𝐴 → ((𝑥𝐶𝑥𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
7 ssel 2966 . . . . . . . . 9 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷𝑦𝐵))
87pm4.71d 379 . . . . . . . 8 (𝐷𝐵 → (𝑦𝐷 ↔ (𝑦𝐷𝑦𝐵)))
98bicomd 133 . . . . . . 7 (𝐷𝐵 → ((𝑦𝐷𝑦𝐵) ↔ 𝑦𝐷))
106, 9bi2anan9 548 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑥𝐴) ∧ (𝑦𝐷𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
113, 10syl5bb 185 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ↔ (𝑥𝐶𝑦𝐷)))
1211anbi1d 446 . . . 4 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ((((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐵)) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
132, 12syl5bbr 187 . . 3 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → (((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)) ↔ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)))
1413oprabbidv 5586 . 2 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
151, 14syl5eq 2100 1 ((𝐶𝐴𝐷𝐵) → ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ 𝜑)} ↾ (𝐶 × 𝐷)) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥𝐶𝑦𝐷) ∧ 𝜑)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wss 2944   × cxp 4370  cres 4374  {coprab 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-opab 3846  df-xp 4378  df-rel 4379  df-res 4384  df-oprab 5543
This theorem is referenced by:  resmpt2  5626
  Copyright terms: Public domain W3C validator