Theorem resunimafz0 10574

Description: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resunimafz0.i	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
resunimafz0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
resunimafz0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
resunimafz0	⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Proof of Theorem resunimafz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaundi 4951	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁}))
2		resunimafz0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		elfzonn0 9963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		elnn0uz 9363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
6	4, 5	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzisfzounsn 10013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
9	8	imaeq2d 4881	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
10		resunimafz0.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
11	10	ffnd 5273	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
12		fnsnfv 5480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
13	11, 2, 12	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
14	13	uneq2d 3230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁})))
15	1, 9, 14	3eqtr4a 2198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}))
16	15	reseq2d 4819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})))
17		resundi 4832	. . 3 ⊢ (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
18	16, 17	syl6eq 2188	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})))
19		resunimafz0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
20		funfn 5153	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐼 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
21	19, 20	sylib 121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
22	10, 2	ffvelrnd 5556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
23		fnressn 5606	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
24	21, 22, 23	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
25	24	uneq2d 3230	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
26	18, 25	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3069  {csn 3527  ⟨cop 3530  dom cdm 4539   ↾ cres 4541   “ cima 4542  Fun wfun 5117   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  0cc0 7620  ℕ₀cn0 8977  ℤ_≥cuz 9326  ...cfz 9790  ..^cfzo 9919  ♯chash 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by: (None)