ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftfib GIF version

Theorem shftfib 9616
Description: Value of a fiber of the relation 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftfib ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))

Proof of Theorem shftfib
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
21shftfval 9614 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
32breqd 3800 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧))
4 vex 2575 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
5 eleq1 2114 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
6 oveq1 5544 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝐴) = (𝐵𝐴))
76breq1d 3799 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑦))
85, 7anbi12d 450 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦)))
9 breq2 3793 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵𝐴)𝐹𝑦 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
109anbi2d 445 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
11 eqid 2054 . . . . . . 7 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
128, 10, 11brabg 4031 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
134, 12mpan2 409 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
143, 13sylan9bb 443 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
15 ibar 289 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐵𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
1615adantl 266 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴)𝐹𝑧 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴)𝐹𝑧)))
1714, 16bitr4d 184 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧 ↔ (𝐵𝐴)𝐹𝑧))
1817abbidv 2169 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧} = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
19 imasng 4715 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
2019adantl 266 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = {𝑧𝐵(𝐹 shift 𝐴)𝑧})
21 simpr 107 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
22 simpl 106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2321, 22subcld 7355 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
24 imasng 4715 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℂ → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2523, 24syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}) = {𝑧 ∣ (𝐵𝐴)𝐹𝑧})
2618, 20, 253eqtr4d 2096 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  {cab 2040  Vcvv 2572  {csn 3400   class class class wbr 3789  {copab 3842  cima 4373  (class class class)co 5537  cc 6915  cmin 7215   shift cshi 9607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-sub 7217  df-shft 9608
This theorem is referenced by:  shftval  9618
  Copyright terms: Public domain W3C validator